Matemática I

Resumen para el examen final. FCAI, UNCuyo, 2026.

Cómo usarlo

Leé la unidad una vez, con lápiz y hoja. Son 20 a 30 minutos.
Apretá Tapar fórmulas. Decí o escribí cada fórmula y tocala para comprobar.
Hacé Probate. Escribí tu respuesta antes de abrir la solución.
Explicá en voz alta las Preguntas de mesa, como ante el tribunal del oral.
Cerrá el resumen y pasá a los ejercicios de Practicá.

Los recuadros rojos marcan errores fáciles de cometer. Conviene repasarlos primero. Para el oral, usá el banco de Definiciones del final.

Cómo se conecta todo

Unidad	Qué aporta	Dónde se vuelve a usar
U1 Matrices	Rango, inversa, determinante	En todas las demás
U2 Sistemas	Rouché-Fröbenius	Dependencia lineal, intersecciones, posiciones relativas
U3 Vectores	LD, base, productos	Rectas y planos: directores, normales, áreas
U4 Plano	Rectas y cónicas	Intersecciones con sistemas no lineales
U5 Espacio	Planos y rectas	Junta U1, U2 y U3 en un mismo ejercicio

Dos hábitos

Dos hábitos para el escrito: justificar cada afirmación y verificar cada resultado.

Justificar: dato, teorema, conclusión

Toda afirmación lleva las tres partes. Escribí el resultado, nombrá la propiedad que usaste y cerrá con lo que te pidieron.

Cuidado. Escribir \(\det=0=r(A)\) iguala un determinante con un rango, y decir "existe combinación lineal" no prueba nada. Hay que decir qué sistema se plantea y por qué tiene solución no trivial. Así se escribe entero:

Respuesta completa: dependencia lineal de \(\vv u=\col{2}{3}{1},\ \vv v=\col{1}{0}{1},\ \vv w=\col{0}{3}{-1}\)

Dato: Planteo \(\alpha_1\vv u+\alpha_2\vv v+\alpha_3\vv w=\vv 0\). Es un sistema homogéneo cuya matriz \(A\) tiene a los vectores como columnas, y \(\det(A)=\begin{vmatrix}2&1&0\\3&0&3\\1&1&-1\end{vmatrix}=0\).
Teorema: Como \(\det(A)=0\), resulta \(r(A)\lt 3=n\). Por Rouché-Fröbenius el sistema es compatible indeterminado (al ser homogéneo no puede ser incompatible).
Conclusión: Existen escalares no todos nulos que anulan la combinación lineal, por lo tanto el conjunto es LD.
Control: \(\vv u=2\vv v+\vv w\), porque \(2\col{1}{0}{1}+\col{0}{3}{-1}=\col{2}{3}{1}\).

Verificar: dos minutos antes de entregar

Si calculaste	Comprobá
Solución de un sistema	Reemplazá en las ecuaciones originales
Inversa	\(A\cdot A^{-1}=I\), al menos una fila
Determinante	Sumá los términos dos veces, o usá otro método
Adj o Cof a partir de \(A^{-1}\)	Calculá un cofactor a mano y comparalo
Conjunto LD	Mostrá la combinación lineal explícita
Producto vectorial	\((\vv u\times\vv v)\cdot\vv u=0\) y \((\vv u\times\vv v)\cdot\vv v=0\)
Punto de intersección	Reemplazá en las dos ecuaciones
Plano por tres puntos	Reemplazá los tres puntos en la ecuación

U1 Matrices y determinantes

Las matrices ordenan datos. El determinante dice si una matriz cuadrada tiene inversa.

Tipos de matrices

En \(a_{ij}\), \(i\) es la fila y \(j\) la columna. Una matriz de \(m\) filas y \(n\) columnas es de orden \(m\times n\).

Tipo	Condición
Fila	Una sola fila: orden \(1\times n\)
Columna	Una sola columna: orden \(m\times 1\)
Nula	\(a_{ij}=0\) para todo \(i\) y todo \(j\)
Transpuesta \(A^T\)	Se intercambian filas y columnas
Cuadrada	\(m=n\)
Diagonal	\(a_{ij}=0\ \ \forall i\neq j\)
Escalar	Diagonal con todos los \(a_{ii}=k\)
Identidad \(I\)	Escalar con \(k=1\)
Triangular superior	\(a_{ij}=0\ \ \forall i\gt j\) (ceros debajo de la diagonal)
Triangular inferior	\(a_{ij}=0\ \ \forall i\lt j\) (ceros arriba de la diagonal)
Simétrica	\(A=A^T\)
Antisimétrica	\(A=-A^T\) (diagonal de ceros)

Operaciones

Suma: solo entre matrices del mismo orden, elemento a elemento. La opuesta de \(A=(a_{ij})\) es \(-A=(-a_{ij})\).
Producto: \(A_{m\times n}\cdot B_{n\times p}=C_{m\times p}\). El elemento \(c_{ij}\) es la fila \(i\) de \(A\) por la columna \(j\) de \(B\). No es conmutativo.
Inversa: \(A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I\). Existe solo si \(A\) es cuadrada y \(\det(A)\neq 0\).

Problemas con matrices: rotulá filas y columnas, comprobá que los órdenes permitan el producto e interpretá el resultado con una oración. Si el producto da una matriz \(1\times 1\), como \(B_{1\times 4}\cdot A_{4\times 1}=\left(\tfrac{31}{2}\right)\), se lee como un número: 15,5 horas.

Escalonar y rango

Escalonada: la cantidad de ceros antes del primer elemento no nulo crece fila a fila. Ese primer elemento se llama distinguido.
Reducida: además, cada distinguido vale 1 y es el único no nulo de su columna.
Operaciones elementales: intercambiar filas, multiplicar una fila por \(k\neq 0\), sumar a una fila un múltiplo de otra.
Rango \(r(A)\): cantidad de filas no nulas de cualquier forma escalonada.
Inversa por Gauss-Jordan: \((A\mid I)\sim(I\mid A^{-1})\).

Hoja resuelta: inversa de \(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\)

\[\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&5&0&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-1&-3&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-5&2\\0&-1&-3&1\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{cc|cc}1&0&-5&2\\0&1&3&-1\end{array}\right)\]

Operaciones: \(F_2\to F_2-3F_1\), luego \(F_1\to F_1+2F_2\), luego \(F_2\to -F_2\).

Control: \(\begin{pmatrix}1&2\\3&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-5&2\\3&-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\).

Determinantes: cómo se calculan

Orden 2: \(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc\).
Orden 3: regla de Sarrus.
Laplace: \(\det(A)=a_{i1}c_{i1}+a_{i2}c_{i2}+\dots+a_{in}c_{in}\). Elegí la fila o columna con más ceros.
Reducción por filas: llevá a forma triangular sumando múltiplos de filas y multiplicá la diagonal.

Menor, cofactor y adjunta

Objeto	Definición
Matriz complementaria \(M_{ij}\)	\(A\) sin la fila \(i\) y sin la columna \(j\)
Menor \(m_{ij}\)	\(m_{ij}=\det(M_{ij})\)
Cofactor \(c_{ij}\)	\(c_{ij}=(-1)^{i+j}\,m_{ij}\)
Adjunta	\(\mathrm{Adj}(A)=\mathrm{Cof}(A)^T\)
Inversa por adjunta	\(A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,\mathrm{Adj}(A)\), o sea \(\mathrm{Adj}(A)=\det(A)\cdot A^{-1}\)

Cuidado. El cofactor no lleva \(a_{ij}\): que \(a_{41}=0\) no anula \(c_{41}\). El producto \(a_{ij}\,c_{ij}\) es un término de Laplace.

Propiedades del determinante

Situación	Resultado
Transpuesta	\(\det(A^T)=\det(A)\)
Fila o columna de ceros	\(\det(A)=0\)
Dos filas proporcionales	\(\det(A)=0\)
Producto	\(\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot\det(B)\)
Suma	\(\det(A+B)\neq\det(A)+\det(B)\) en general
Potencia	\(\det(A^n)=\det(A)^n\)
Inversa	\(\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\)
Una fila por \(k\)	El determinante queda multiplicado por \(k\)
Toda la matriz por \(k\), orden \(n\)	\(\det(kA)=k^n\det(A)\)
Intercambiar dos filas	Cambia de signo
Sumar a una fila un múltiplo de otra	No cambia
Matriz triangular	Producto de la diagonal principal

Cuidado. Cada escalar sale elevado al orden de la matriz, todos y no solo uno. En orden 2, con \(\det(A^{-1})=2\) y \(\det(B)=3\): \(\det(2A^{-1}\cdot 3B^T)=2^2\cdot 2\cdot 3^2\cdot 3=216\).

Cuidado. Sumar \(2F_3\) a \(F_1\) no cambia el determinante. El factor \(2^3\) aparece solo si se multiplica por 2 toda la matriz de orden 3.

Cuidado. Un error de signo en \(\det(A)\) se arrastra a Adj y Cof. Controlá un cofactor a mano antes de seguir.

Hoja resuelta: adjunta y cofactores

Sarrus en \(A=\begin{pmatrix}2&3&-2\\1&4&1\\2&1&-3\end{pmatrix}\): \(\ -24+6-2+16-2+9=3\).

\[\mathrm{Adj}(A)=3\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}-13&7&11\\5&-2&-4\\-7&4&5\end{pmatrix}\qquad\mathrm{Cof}(A)=\mathrm{Adj}(A)^T=\begin{pmatrix}-13&5&-7\\7&-2&4\\11&-4&5\end{pmatrix}\]

Control de 20 segundos: \(c_{11}=\begin{vmatrix}4&1\\1&-3\end{vmatrix}=-13\). Coincide. Con el signo del determinante equivocado daría \(+13\), y el error salta solo.

Probate

\(A\) es \(3\times 2\) y \(B\) es \(2\times 4\). ¿Existe \(A\cdot B\)? ¿Y \(B\cdot A\)?

\(A\cdot B\) existe y es \(3\times 4\). \(B\cdot A\) no existe: \(B\) tiene 4 columnas y \(A\) tiene 3 filas.

\(A\) es de orden 3 con \(\det(A)=2\). Calculá \(\det(3A)\), \(\det(A^{-1})\) y \(\det(2A^{-1})\).

\(3^3\cdot 2=54\). Después \(\tfrac12\). Por último \(2^3\cdot\tfrac12=4\).

Un determinante de orden 3 vale 5. ¿Cuánto vale si le sumás \(2F_1\) a \(F_2\)? ¿Si multiplicás \(F_1\) por 2? ¿Si intercambiás \(F_1\) y \(F_2\)?

5, porque sumar un múltiplo no lo cambia. 10, porque una fila por 2 lo duplica. \(-5\), porque intercambiar filas cambia el signo.

Hallá \(c_{23}\) de \(\begin{pmatrix}1&2&3\\0&4&5\\1&0&6\end{pmatrix}\).

\(c_{23}=(-1)^{5}\begin{vmatrix}1&2\\1&0\end{vmatrix}=-(-2)=2\).

Rango de \(\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\\1&0&1\end{pmatrix}\).

\(r=2\). La segunda fila es el doble de la primera, y al escalonar queda una fila nula.

Inversa de \(\begin{pmatrix}2&1\\5&3\end{pmatrix}\).

\(\det=1\), así que \(A^{-1}=\begin{pmatrix}3&-1\\-5&2\end{pmatrix}\).

Preguntas de mesa

¿Qué es el rango de una matriz?

Es la cantidad de filas no nulas de cualquier forma escalonada de la matriz.

¿Cuándo una matriz admite inversa?

Cuando es cuadrada y su determinante es distinto de cero.

¿Por qué \(\det(A^{-1})=1/\det(A)\)?

Porque \(A\cdot A^{-1}=I\). Aplicando determinante y la propiedad del producto, \(\det(A)\cdot\det(A^{-1})=\det(I)=1\).

¿Por qué \(\det(kA)=k^n\det(A)\)?

Multiplicar \(A\) por \(k\) es multiplicar sus \(n\) filas por \(k\). Cada fila aporta un factor \(k\) al determinante.

¿Qué diferencia hay entre menor y cofactor?

El menor es el determinante de la matriz complementaria. El cofactor es ese menor con el signo \((-1)^{i+j}\).

Practicá: TP1a ej. 10 y 11. TP1b ej. 5 y 7, Opcional 2.

U2 Sistemas de ecuaciones

Casi todos los ejercicios de la materia terminan en un sistema. Saber clasificarlo es la mitad del trabajo.

Clasificación y Rouché-Fröbenius

\(A\) es la matriz de coeficientes, \(A'=(A\mid B)\) la ampliada y \(n\) la cantidad de incógnitas.

Rangos	Tipo	Soluciones
\(r(A)=r(A')=n\)	SCD	Una sola
\(r(A)=r(A')\lt n\)	SCI	Infinitas, con \(n-r\) parámetros
\(r(A)\neq r(A')\)	SI	Ninguna: \(S=\varnothing\)

Con dos incógnitas cada ecuación es una recta, así que el sistema también se resuelve gráficamente:

Las rectas son	Tipo	Solución
Secantes	SCD	El punto de corte
Coincidentes	SCI	Todos los puntos de la recta
Paralelas	SI	\(S=\varnothing\)

Forma matricial

Cuidado. Escribir solo \(A\cdot X=B\) no alcanza. Hay que escribir las matrices, como en las diapositivas de U2:

\[\begin{cases}x+2y+z=5\\2x-3y+z=4\\3x+y+2z=7\end{cases}\quad\Longrightarrow\quad\begin{pmatrix}1&2&1\\2&-3&1\\3&1&2\end{pmatrix}\cdot\col{x}{y}{z}=\col{5}{4}{7}\]

Métodos

Método	Cuándo sirve	Cómo
Gauss	Siempre	Escalonás \(A'\) y sustituís hacia atrás
Gauss-Jordan	Siempre	Llevás \(A'\) a la forma reducida y leés la solución
Matricial	\(A\) cuadrada, \(\det(A)\neq 0\)	\(X=A^{-1}\cdot B\)
Cramer	\(A\) cuadrada, \(\det(A)\neq 0\)	\(x_j=\dfrac{\det(A_j)}{\det(A)}\), con \(A_j\) igual a \(A\) pero con la columna \(j\) reemplazada por \(B\)

Cuidado. Un error de cuenta en la sustitución cambia toda la solución. Reemplazá en las ecuaciones originales: si una no da, el error aparece ahí.

Homogéneos y sistemas de Cramer

Homogéneo: \(B=0\). Siempre es compatible, porque tiene al menos la solución trivial.
Con \(r=n\) es SCD y la única solución es la trivial. Con \(r\lt n\) es SCI.
Homogéneo con más incógnitas que ecuaciones: \(r\leq m\lt n\), así que siempre es SCI.
Sistema de Cramer: \(n\) ecuaciones, \(n\) incógnitas y \(\det(A)\neq 0\). Siempre tiene solución única.
Si \(\det(A)=0\) en un sistema cuadrado, no hay solución única. Puede ser SCI o SI, y decide Rouché.

Cuidado. En un sistema de Cramer el determinante no es nulo nunca. Es parte de la definición.

Hoja resuelta: sistema compatible indeterminado

\[\begin{cases}x+y-z=2\\2x-y+z=1\\3x=3\end{cases}\qquad\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\2&-1&1&1\\3&0&0&3\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&-1&2\\0&-3&3&-3\\0&0&0&0\end{array}\right)\]

\(r(A)=r(A')=2\lt 3\): SCI con 1 parámetro. De la segunda fila, \(y-z=1\). Con \(z=t\): \(y=1+t\) y \(x=1\).

\[S=\{(x;y;z)\in\R^3:(x;y;z)=(1;\,1+t;\,t),\ t\in\R\}\]

Control: \(1+(1+t)-t=2\), \(\ 2-(1+t)+t=1\), \(\ 3\cdot 1=3\).

Sistemas con parámetro \(k\)

Calculá \(\det(A)\) en función de \(k\).
Igualá a cero para hallar los valores críticos.
Para \(k\) distinto de los críticos, el sistema es SCD.
Reemplazá cada valor crítico, escaloná \(A'\) y aplicá Rouché.

Hoja resuelta: clasificá según \(k\)

\[\begin{cases}x+y+z=1\\x+2y+3z=2\\x+3y+kz=3\end{cases}\qquad\det(A)=k-5\]

Si \(k\neq 5\): SCD. Si \(k=5\):

\[\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\1&2&3&2\\1&3&5&3\end{array}\right)\sim\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&1&2&1\\0&0&0&0\end{array}\right)\]

\(r(A)=r(A')=2\lt 3\): SCI. Si el último término independiente fuera 4 en lugar de 3, quedaría \(r(A')=3\neq r(A)\) y sería SI.

Problemas de aplicación

Definí las incógnitas con sus unidades, escribí una ecuación por dato, resolvé, verificá contra el enunciado y respondé con una oración.

Probate

\(r(A)=2\), \(r(A')=3\), \(n=3\). ¿Qué tipo de sistema es?

SI, porque \(r(A)\neq r(A')\).

\(r(A)=r(A')=2\), \(n=3\). ¿Qué tipo es y cuántos parámetros tiene?

SCI con \(3-2=1\) parámetro.

Un homogéneo de 2 ecuaciones con 3 incógnitas, ¿siempre, a veces o nunca es incompatible?

Nunca: todo homogéneo es compatible. Además es SCI, porque \(r\leq 2\lt 3\).

Resolvé por Cramer: \(2x+y=5\), \(\ x-y=1\).

\(\det(A)=-3\), \(\ x=\dfrac{-6}{-3}=2\), \(\ y=\dfrac{-3}{-3}=1\).

En un sistema \(3\times 3\) con \(\det(A)=0\), ¿qué podés asegurar?

Que no tiene solución única. Es SCI o SI, y para decidir hay que comparar \(r(A)\) con \(r(A')\).

¿Para qué \(k\) es SCD y para cuál SCI el sistema \(x+ky=1\), \(\ 2x+4y=2\)?

\(\det(A)=4-2k\). Si \(k\neq 2\) es SCD. Si \(k=2\), la segunda ecuación es el doble de la primera y es SCI.

Preguntas de mesa

Enunciá el teorema de Rouché-Fröbenius.

Un sistema es compatible si y solo si \(r(A)=r(A')\). Si ese rango es igual a \(n\), es determinado. Si es menor que \(n\), es indeterminado. Si los rangos difieren, es incompatible.

¿Por qué un sistema homogéneo nunca es incompatible?

Porque la solución trivial, con todas las incógnitas en cero, siempre lo satisface.

¿Qué son sistemas equivalentes?

Sistemas con el mismo conjunto solución. Las operaciones elementales entre filas conservan esa equivalencia.

¿Por qué \(X=A^{-1}\cdot B\) y qué hace falta para usarlo?

Multiplicando \(A\cdot X=B\) a izquierda por \(A^{-1}\) queda \(I\cdot X=A^{-1}\cdot B\). Hace falta que \(A\) sea cuadrada con \(\det(A)\neq 0\).

¿Qué significa geométricamente un sistema de 3 incógnitas?

Cada ecuación es un plano y el conjunto solución es su intersección: un punto si es SCD, una recta o un plano si es SCI, y vacío si es SI.

Practicá: TP2 ej. 4, 5, 8 y 9, Opcional 2, 3 y 8.

U3 Vectores y espacios vectoriales

Dos partes: combinación lineal, dependencia y base se resuelven con sistemas. Norma y productos se resuelven con fórmulas.

Por espacio, en esta página algunos vectores van en fila, como \(\vv u=(2;-1;3)\). En el examen escribilos en columna, como en las diapositivas.

Lo básico

Vector de \(a\) a \(b\)	\(\vv{ab}=b-a\)
Suma	Componente a componente. Gráficamente, regla del paralelogramo o de la poligonal
Producto por escalar	\(k\cdot(x;y;z)=(kx;ky;kz)\)
Norma	\(\nr{\vv u}=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)
Versor asociado, o normalizar \(\vv u\)	\(\check u=\dfrac{1}{\nr{\vv u}}\cdot\vv u\)
Espacio vectorial	Conjunto no vacío con adición y producto por escalar que cumplen 10 axiomas

Combinación lineal y dependencia

Combinación lineal: \(\vv v\) es CL de \(\vv{u_1},\dots,\vv{u_n}\) si existen escalares con \(\vv v=\alpha_1\vv{u_1}+\dots+\alpha_n\vv{u_n}\). Para saberlo planteás ese sistema: si es compatible, es CL.
LI: la única combinación lineal que da \(\vv 0\) es la de todos los escalares nulos.
LD: existe una combinación que da \(\vv 0\) con algún escalar no nulo. Equivale a que uno sea CL de los demás.

Método: planteá \(\alpha_1\vv{u_1}+\dots+\alpha_n\vv{u_n}=\vv 0\), armá el sistema homogéneo con los vectores como columnas y aplicá Rouché. Con \(r=n\) son LI y con \(r\lt n\) son LD. Si son \(n\) vectores de \(\R^n\), alcanza el determinante: \(\det\neq 0\) es LI y \(\det=0\) es LD.

Caso	Conclusión
Más de 2 vectores de \(\R^2\)	Siempre LD
Más de 3 vectores de \(\R^3\)	Siempre LD
Dos vectores	LD si y solo si son proporcionales
Tres vectores de \(\R^3\)	LD si y solo si son coplanares
Conjunto con el vector nulo	Siempre LD

Sistema generador, base y dimensión

Sistema generador (SG): todo vector de \(V\) es CL de los vectores del conjunto. Se prueba con un vector genérico \((x;y;z)\): tiene que dar compatible siempre. En \(\R^n\) equivale a \(r(A)=n\).
Menos de \(n\) vectores nunca generan \(\R^n\). Con más de \(n\), depende del rango.
Base: conjunto LI que además es SG.
Dimensión: cantidad de vectores de cualquier base. \(\dim\R^2=2\), \(\dim\R^3=3\).
Un conjunto de \(n\) vectores LI de \(\R^n\) ya es base.
Base canónica o estándar: en \(\R^2\), \(\vec\imath=(1;0)\) y \(\vec\jmath=(0;1)\). En \(\R^3\), \(\vec\imath=(1;0;0)\), \(\vec\jmath=(0;1;0)\) y \(\vec k=(0;0;1)\).

Los tres productos

Producto	Fórmula	Da	Para qué sirve
Escalar	\(\vv u\cdot\vv v=xx'+yy'+zz'\) \(=\nr{\vv u}\nr{\vv v}\cos\theta\)	Número	Ángulo. \(\vv u\cdot\vv v=0\) ortogonales, \(\gt 0\) agudo, \(\lt 0\) obtuso
Vectorial	\(\vv u\times\vv v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\x&y&z\\x'&y'&z'\end{vmatrix}\)	Vector	Ortogonal a ambos. \(\nr{\vv u\times\vv v}\) es el área del paralelogramo, la mitad es la del triángulo. Da \(\vv 0\) si son paralelos
Mixto	\(\vv u\cdot(\vv v\times\vv w)=\det(\vv u,\vv v,\vv w)\)	Número	Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo. Da 0 si son coplanares

Ángulo: \(\theta=\arccos\dfrac{\vv u\cdot\vv v}{\nr{\vv u}\nr{\vv v}}\), con \(0^\circ\leq\theta\leq 180^\circ\). Relación útil: \(\nr{\vv u}^2=\vv u\cdot\vv u\).

Aplicaciones en física: el producto escalar da el trabajo \(W=\vv F\cdot\vv d\) y el flujo de campo eléctrico. El vectorial da el momento de una fuerza y la fuerza magnética sobre una carga en movimiento.

Hoja resuelta: ángulo, área y volumen

\(\vv u=(3;-1;2)\), \(\ \vv v=(2;1;0)\), \(\ \vv w=(-2;4;5)\).

\(\vv u\cdot\vv v=6-1+0=5\neq 0\): no son ortogonales.

\(\cos\theta=\dfrac{5}{\sqrt{14}\sqrt 5}\), entonces \(\theta\approx 53^\circ\,18'\,2{,}8''\).

\(\vv u\times\vv v=(-2;4;5)\), así que el área es \(\sqrt{45}\approx 6{,}7\ u^2\).

Volumen: \(|(\vv u\times\vv v)\cdot\vv w|=|4+16+25|=45\ u^3\).

Cuidado. Pasá de grados decimales a sexagesimales sin redondear antes. Redondear en el medio cambia los segundos.

Probate

¿\((3;6)\) y \((-1;-2)\) son LD?

Sí: son proporcionales, porque \((3;6)=-3\cdot(-1;-2)\).

Analizá \(\{(1;2;3),(4;5;6),(7;8;9)\}\).

El determinante da 0, así que son LD. Control: \((1;2;3)-2(4;5;6)+(7;8;9)=\vv 0\).

Versor de \((2;-1;2)\).

La norma es 3, así que el versor es \(\left(\tfrac23;-\tfrac13;\tfrac23\right)\).

¿\(\{(1;0;1),(0;1;1)\}\) es base de \(\R^3\)?

No. Son LI, pero dos vectores no alcanzan para generar \(\R^3\), que tiene dimensión 3.

Área del triángulo de vértices \(a=(3;0;0)\), \(b=(0;0;2)\), \(c=(0;5;0)\).

\(\vv{ab}\times\vv{ac}=(-10;-6;-15)\), con norma 19. El área es \(\tfrac{19}{2}=9{,}5\ u^2\).

Tres vectores de \(\R^2\), ¿siempre, a veces o nunca son SG?

A veces. Por ejemplo \((1;1),(2;2),(3;3)\) tienen rango 1 y no generan \(\R^2\).

Preguntas de mesa

Definí vectores linealmente independientes.

Son vectores cuya única combinación lineal igual al vector nulo es la que tiene todos los escalares nulos. Ninguno se puede escribir como combinación lineal de los demás.

¿Qué significa que tres vectores de \(\R^3\) den determinante nulo?

Que son LD: el sistema homogéneo tiene soluciones no triviales. Geométricamente, son coplanares.

¿Qué es una base y qué es la dimensión?

Una base es un conjunto LI que genera el espacio. La dimensión es la cantidad de vectores de cualquiera de sus bases.

¿Por qué \(\nr{\vv u\times\vv v}\) es el área del paralelogramo?

El área es base por altura. La base es \(\nr{\vv u}\) y la altura es \(\nr{\vv v}\sin\theta\), y ese producto es el módulo del producto vectorial.

¿Qué interpreta el producto mixto?

Su valor absoluto es el volumen del paralelepípedo que determinan los tres vectores. Si da cero, son coplanares.

Practicá: TP3 ej. 6 y 7, Opcional 3, 5 y 8.

U4 Geometría del plano

Una recta con seis formas de escribirse y cuatro cónicas. Casi todo se reduce a completar cuadrados y leer elementos.

Distancia y punto medio

\[d(a;b)=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2}\qquad m=\left(\frac{x+x'}{2};\ \frac{y+y'}{2}\right)\]

La recta

Dado un punto \(p_0=(x_0;y_0)\) y un vector director \(\vv u=(\alpha;\beta)\):

Forma	Ecuación	Qué se lee
Vectorial	\(\binom{x}{y}=\binom{x_0}{y_0}+t\binom{\alpha}{\beta}\)	Punto y director
Paramétricas	\(x=x_0+t\alpha,\quad y=y_0+t\beta\)	Punto y director
Simétrica	\(\dfrac{x-x_0}{\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\beta}\)	Punto y director
General	\(ax+by+c=0\)	Director \(\vv u=(-b;a)\)
Explícita	\(y=mx+h\)	Pendiente \(m=-\dfrac ab=\dfrac\beta\alpha=\tan\theta\). Ordenada al origen \(h\)
Segmentaria	\(\dfrac xA+\dfrac yB=1\)	Corta los ejes en \((A;0)\) y \((0;B)\)

Si \(a=0\), la recta es horizontal: \(y=\) constante.
Si \(b=0\), es vertical: \(x=\) constante, con pendiente infinita.
Si \(c=0\), pasa por el origen.
Paralelas: \(m_1=m_2\). Perpendiculares: \(m_1\cdot m_2=-1\), o \(\vv{u_1}\cdot\vv{u_2}=0\).
Con un punto y la pendiente: \(y-y_0=m(x-x_0)\). Con dos puntos \(a\) y \(b\), el director es \(\vv{ab}\).
El vector \((a;b)\) es perpendicular a la recta \(ax+by+c=0\). Por eso, una recta perpendicular a la dirección de \((3;1)\) se escribe directo como \(3x+y+c=0\).

Qué cónica es

En la ecuación general \(Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0\):

Coeficientes	Cónica	Definición como lugar geométrico
\(A=B\)	Circunferencia	\(d(p;c)=r\)
Mismo signo, \(A\neq B\)	Elipse	\(d(p;F_1)+d(p;F_2)=2a\)
\(A=0\) o \(B=0\)	Parábola	\(d(p;F)=d(p;\text{directriz})\)
Signos distintos	Hipérbola	\(\|d(p;F_1)-d(p;F_2)\|=2a\)

Cada cónica se escribe de tres maneras, y los enunciados las piden por su nombre:

Ecuación	Qué es	Ejemplo: elipse
Canónica	Centro o vértice en el origen	\(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\)
Ordinaria	Centro o vértice en \((h;k)\), ejes paralelos a los coordenados	\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\)
General o implícita	La ordinaria desarrollada e igualada a cero	\(Ax^2+By^2+Dx+Ey+F=0\)

Si piden hallar un lugar geométrico, planteá la igualdad de distancias de la definición y desarrollá.

Circunferencia

\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\qquad x^2+y^2+Dx+Ey+F=0\]

Al completar cuadrados, si el segundo miembro da positivo es una circunferencia real, si da cero es un punto y si da negativo es imaginaria.

Si es tangente a una recta, el radio es la distancia del centro a esa recta. Se halla con la perpendicular por el centro, su intersección con la recta y la distancia entre esos dos puntos.

Elipse

\(a\gt b\gt 0\),
\(c^2=a^2-b^2\),
\(\varepsilon=\dfrac ca\), con \(0\lt\varepsilon\lt 1\).

\(a^2\) es siempre el denominador mayor. Su posición dice hacia dónde va el eje focal. El triángulo marcado muestra por qué \(a^2=b^2+c^2\).

Eje mayor \(A_1A_2=2a\), eje menor \(B_1B_2=2b\) y distancia focal \(F_1F_2=2c\).

Elemento	Eje focal horizontal	Eje focal vertical
Ecuación	\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}+\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\)	\(\dfrac{(x-h)^2}{b^2}+\dfrac{(y-k)^2}{a^2}=1\)
Vértices principales	\((h\pm a;\,k)\)	\((h;\,k\pm a)\)
Vértices secundarios	\((h;\,k\pm b)\)	\((h\pm b;\,k)\)
Focos	\((h\pm c;\,k)\)	\((h;\,k\pm c)\)
Eje focal	\(y=k\)	\(x=h\)

Parábola

\(p=d(F;\text{directriz})\gt 0\).
El vértice \(V=(h;k)\) está a \(\dfrac p2\) del foco y a \(\dfrac p2\) de la directriz.

La variable al cuadrado dice el eje de simetría: si es \(y^2\), la parábola abre hacia los costados. Las líneas de trazos muestran que \(P\) está a igual distancia de \(F\) y de la directriz.

El lado recto es la cuerda que pasa por el foco, perpendicular al eje focal, y mide \(2p\).

Ecuación	Abre hacia	Foco	Directriz	Eje focal
\((y-k)^2=2p(x-h)\)	Derecha	\((h+\frac p2;\,k)\)	\(x=h-\frac p2\)	\(y=k\)
\((y-k)^2=-2p(x-h)\)	Izquierda	\((h-\frac p2;\,k)\)	\(x=h+\frac p2\)	\(y=k\)
\((x-h)^2=2p(y-k)\)	Arriba	\((h;\,k+\frac p2)\)	\(y=k-\frac p2\)	\(x=h\)
\((x-h)^2=-2p(y-k)\)	Abajo	\((h;\,k-\frac p2)\)	\(y=k+\frac p2\)	\(x=h\)

Hipérbola

\(c^2=a^2+b^2\),
\(\varepsilon=\dfrac ca\gt 1\).

\(a^2\) va siempre debajo del término positivo, aunque sea el denominador menor. La diagonal del rectángulo mide \(c\) y las asíntotas pasan por el centro y por sus esquinas.

Eje transverso \(V_1V_2=2a\) y eje conjugado \(B_1B_2=2b\).

Elemento	Eje focal horizontal	Eje focal vertical
Ecuación	\(\dfrac{(x-h)^2}{a^2}-\dfrac{(y-k)^2}{b^2}=1\)	\(\dfrac{(y-k)^2}{a^2}-\dfrac{(x-h)^2}{b^2}=1\)
Vértices	\((h\pm a;\,k)\)	\((h;\,k\pm a)\)
Vértices imaginarios	\((h;\,k\pm b)\)	\((h\pm b;\,k)\)
Focos	\((h\pm c;\,k)\)	\((h;\,k\pm c)\)
Asíntotas	\(y-k=\pm\dfrac ba(x-h)\)	\(y-k=\pm\dfrac ab(x-h)\)
Eje focal	\(y=k\)	\(x=h\)

Cuidado. En la hipérbola se suma: \(c^2=a^2+b^2\). Usar la resta de la elipse da un \(c\) equivocado, y con él los focos y la excentricidad.

Completar cuadrados

\[x^2+bx=\left(x+\frac b2\right)^2-\left(\frac b2\right)^2\]

Agrupá los términos en \(x\) y los términos en \(y\).
Sacá factor común el coeficiente de \(x^2\) y el de \(y^2\).
Completá dentro de cada paréntesis, restando lo que agregaste.
Pasá los números al segundo miembro.
Dividí para que el segundo miembro sea 1, salvo en la parábola y la circunferencia.

Hoja resuelta: una hipérbola con todos sus elementos

\[-\tfrac14x^2+y^2-\tfrac32x-4y-\tfrac94=0\] \[-\tfrac14(x^2+6x)+(y^2-4y)-\tfrac94=0\] \[-\tfrac14\left[(x+3)^2-9\right]+(y-2)^2-4-\tfrac94=0\] \[-\tfrac14(x+3)^2+(y-2)^2=4\quad\Longrightarrow\quad\frac{(y-2)^2}{4}-\frac{(x+3)^2}{16}=1\]

El término positivo es el de \(y\), así que el eje focal es vertical: \(x=-3\). Centro \(C=(-3;2)\), \(a=2\), \(b=4\), \(c=\sqrt{20}=2\sqrt5\).

Vértices \((-3;4)\) y \((-3;0)\). Focos \((-3;\,2\pm 2\sqrt5)\). Vértices imaginarios \((1;2)\) y \((-7;2)\).

Asíntotas \(y-2=\pm\tfrac12(x+3)\). Excentricidad \(\varepsilon=\sqrt5\approx 2{,}24\).

Intersección de recta y cónica

Despejá \(y\) de la recta, o usá sus paramétricas.
Reemplazá en la cónica y llegá a una cuadrática.
Discriminante positivo: dos puntos. Cero: un punto, recta tangente. Negativo: no se cortan.
Calculá la otra coordenada con la recta y verificá en la cónica.

Para cortar con los ejes, reemplazá \(y=0\) para el eje \(x\), y \(x=0\) para el eje \(y\).

Hoja resuelta: recta y circunferencia

Circunferencia \(3x^2+3y^2+12x-6y+3=0\). Dividida por 3 queda \(x^2+y^2+4x-2y+1=0\). Recta \(\mathcal R:\ \frac{x+3}{1}=\frac{y+2}{1}\), o sea \(y=x+1\).

\[x^2+(x+1)^2+4x-2(x+1)+1=0\quad\Longrightarrow\quad 2x^2+4x=0\]

\(x=0\) o \(x=-2\). Los puntos son \((0;1)\) y \((-2;-1)\).

Con los ejes: \(y=0\) da \(x^2+4x+1=0\), o sea \(x=-2\pm\sqrt3\). Y \(x=0\) da \((y-1)^2=0\), o sea \(y=1\): la circunferencia es tangente al eje \(y\).

Probate

Recta por \((1;2)\) y \((3;6)\), en forma explícita y general.

\(m=2\), entonces \(y=2x\), o sea \(2x-y=0\).

Recta perpendicular a \(y=3x+1\) por \((0;2)\).

\(m=-\tfrac13\), entonces \(y=-\tfrac13x+2\).

Elementos de \(\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{9}=1\).

\(a=5\), \(b=3\), \(c=4\). Vértices \((\pm5;0)\) y \((0;\pm3)\). Focos \((\pm4;0)\). \(\varepsilon=0{,}8\).

¿Qué cónica es \(4x^2-y^2+8x+2y+1=0\)?

Hipérbola, porque \(x^2\) e \(y^2\) tienen coeficientes de distinto signo.

Elementos de \((y-1)^2=8(x-2)\).

\(V=(2;1)\), \(2p=8\), \(p=4\), \(F=(4;1)\), directriz \(x=0\), eje focal \(y=1\).

Elementos de \(\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1\).

\(a=3\), \(b=4\), \(c=5\), \(\varepsilon=\tfrac53\). Asíntotas \(y=\pm\tfrac43x\).

Centro y radio de \(x^2+y^2-4x+6y-3=0\).

\((x-2)^2+(y+3)^2=16\). Centro \((2;-3)\), radio 4.

Preguntas de mesa

Definí elipse, parábola e hipérbola como lugares geométricos.

Elipse: puntos cuya suma de distancias a dos focos es constante. Parábola: puntos que equidistan de un foco y de una recta directriz. Hipérbola: puntos cuya diferencia de distancias a dos focos es constante en valor absoluto.

¿Qué mide la excentricidad?

Es \(\varepsilon=c/a\). En la elipse indica si es más o menos redondeada: cerca de 0 se parece a una circunferencia. En la hipérbola indica si las ramas son más o menos abiertas.

¿Por qué en la elipse \(a^2=b^2+c^2\)?

El vértice \(B_1\) pertenece a la elipse, y como equidista de los focos, cada distancia vale \(a\). Con el centro y un foco forma un triángulo rectángulo de catetos \(b\) y \(c\) e hipotenusa \(a\).

¿Por qué dos rectas perpendiculares cumplen \(m_1m_2=-1\)?

Sus directores son ortogonales. Tomando \((1;m_1)\) y \((1;m_2)\), el producto escalar da \(1+m_1m_2=0\).

Practicá: TP4a Opcional 10. TP4b ej. 8 y 12. TP4c ej. 7 y 13, Opcional 6 y 8.

U5 Geometría del espacio

Usa lo que ya sabés: producto vectorial para el normal, producto mixto para coplanaridad y Rouché para las intersecciones.

Distancia y punto medio

Son las de \(\R^2\) con una coordenada más:

\[d(a;b)=\sqrt{(x'-x)^2+(y'-y)^2+(z'-z)^2}\qquad m=\left(\frac{x+x'}{2};\ \frac{y+y'}{2};\ \frac{z+z'}{2}\right)\]

El plano

Un plano queda determinado por un punto y dos directores LI, por tres puntos no alineados, o por un punto y un vector normal.

Forma	Ecuación
Vectorial	\(\vv{om}=\vv{op_0}+t\,\vv u+t'\,\vv v\)
Paramétricas	\(x=x_0+t\alpha+t'\alpha',\ \ y=y_0+t\beta+t'\beta',\ \ z=z_0+t\gamma+t'\gamma'\)
Normal	\(A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\)
General o implícita	\(Ax+By+Cz+D=0\), con normal \(\vv n=(A;B;C)\)

Si tenés dos directores, el normal sale de \(\vv n=\vv u\times\vv v\). La condición de fondo es que \(\vv{p_0m},\vv u,\vv v\) sean LD, o sea que su determinante sea cero.

Hoja resuelta: plano por \(a=(1;0;2)\), \(b=(2;1;0)\), \(c=(0;1;1)\)

Directores: \(\vv{ab}=(1;1;-2)\) y \(\vv{ac}=(-1;1;-1)\).

Normal: \(\vv n=\vv{ab}\times\vv{ac}=(1;3;2)\).

Con el punto \(a\): \(1(x-1)+3(y-0)+2(z-2)=0\), que da \(x+3y+2z-5=0\).

Control: \(a\): \(1+0+4-5=0\). \(\ b\): \(2+3+0-5=0\). \(\ c\): \(0+3+2-5=0\).

Planos especiales

Si falta una variable, el plano es paralelo al eje de esa variable.

Ecuación	Es paralelo a
\(Cz+D=0\)	Plano XY
\(Ax+D=0\)	Plano YZ
\(By+D=0\)	Plano XZ
\(Ax+By+D=0\)	Eje Z
\(Ax+Cz+D=0\)	Eje Y
\(By+Cz+D=0\)	Eje X

La recta

Una recta queda determinada por un punto \(p_0\) y un director \(\vv u=(\alpha;\beta;\gamma)\).

Forma	Ecuación
Vectorial	\(\vv{om}=\vv{op_0}+t\,\vv u\)
Paramétricas	\(x=x_0+t\alpha,\ \ y=y_0+t\beta,\ \ z=z_0+t\gamma\)
Simétricas	\(\dfrac{x-x_0}{\alpha}=\dfrac{y-y_0}{\beta}=\dfrac{z-z_0}{\gamma}\)
Cartesianas	Dos planos no paralelos: \(\begin{cases}Ax+By+Cz+D=0\\A'x+B'y+C'z+D'=0\end{cases}\)

Con la recta como dos planos, el director es \(\vv u=\vv{n_1}\times\vv{n_2}\).
Si una componente del director es cero, esa fracción no existe: por ejemplo, con \(\gamma=0\) se escribe \(z=z_0\) aparte.
Recta perpendicular a un plano: usás \(\vv n\) como director. Plano perpendicular a una recta: usás \(\vv u\) como normal.
Tres puntos están alineados si \(\vv{ab}\) y \(\vv{ac}\) son LD.

Hoja resuelta: de dos planos a paramétricas

\[\mathcal R:\begin{cases}x+y-z=1\\2x-y+z=2\end{cases}\]

Director: \((1;1;-1)\times(2;-1;1)=(0;-3;-3)\). Sirve el proporcional \(\vv u=(0;1;1)\).

Punto: con \(z=0\) queda \(x+y=1\) y \(2x-y=2\), que da \((1;0;0)\).

Paramétricas: \(x=1\), \(\ y=t\), \(\ z=t\). Control: \(1+t-t=1\) y \(2-t+t=2\).

Posiciones relativas: recta y plano

Compará el director \(\vv u\) con el normal \(\vv n\).

Criterio	Posición	\(\mathcal R\cap\mathcal P\)
\(\vv u\cdot\vv n=0\) y \(p_0\in\mathcal P\)	Incluida	\(\mathcal R\)
\(\vv u\cdot\vv n=0\) y \(p_0\notin\mathcal P\)	Paralela disjunta	\(\varnothing\)
\(\vv u\cdot\vv n\neq 0\)	Secante	Un punto: reemplazá las paramétricas en el plano

Hoja resuelta: recta y plano secantes

\(\mathcal R:\ \vv{om}=(1;2;0)+t(2;-1;1)\) y \(\mathcal P:\ x+2y+z-3=0\).

\(\vv u\cdot\vv n=2-2+1=1\neq 0\): secantes.

Reemplazo: \((1+2t)+2(2-t)+t-3=0\), que da \(t=-2\). El punto es \(m=(-3;4;-2)\).

Control: \(-3+8-2-3=0\).

Posiciones relativas: dos planos

Compará los normales.

Criterio	Posición	\(\mathcal P_1\cap\mathcal P_2\)
\(\vv{n_1},\vv{n_2}\) LD, con un punto común	Coincidentes	El plano
\(\vv{n_1},\vv{n_2}\) LD, sin puntos comunes	Paralelos disjuntos	\(\varnothing\)
\(\vv{n_1},\vv{n_2}\) LI	Secantes	Una recta

Posiciones relativas: dos rectas

Primero compará los directores. Si son LI, mirá el producto mixto con \(\vv{a_1a_2}\), que une un punto de cada recta.

Criterio	Posición	\(\mathcal R_1\cap\mathcal R_2\)
\(\vv{u_1},\vv{u_2}\) LD y \(a_1\in\mathcal R_2\)	Coincidentes	La recta
\(\vv{u_1},\vv{u_2}\) LD y \(a_1\notin\mathcal R_2\)	Paralelas disjuntas	\(\varnothing\)
\(\vv{u_1},\vv{u_2}\) LI y \(\vv{u_1},\vv{u_2},\vv{a_1a_2}\) LD	Secantes	Un punto
\(\vv{u_1},\vv{u_2},\vv{a_1a_2}\) LI	Alabeadas	\(\varnothing\)

Hoja resuelta: secantes o alabeadas

\(\mathcal R_1\): \(a_1=(1;0;0)\), \(\vv{u_1}=(1;1;0)\). \(\ \mathcal R_2\): \(a_2=(0;0;1)\), \(\vv{u_2}=(0;1;1)\).

Los directores no son proporcionales, así que no son paralelas. Con \(\vv{a_1a_2}=(-1;0;1)\):

\[\begin{vmatrix}1&0&-1\\1&1&0\\0&1&1\end{vmatrix}=0\quad\Longrightarrow\quad\text{coplanares, entonces secantes}\]

Igualo \((1+s;\,s;\,0)=(0;\,t;\,1+t)\): sale \(s=t=-1\) y el punto común es \((0;-1;0)\).

Si fuera \(a_2=(0;0;2)\), el determinante daría 1 y serían alabeadas.

La conexión con Rouché

Toda intersección es un sistema. Si es SCD hay un punto, si es SCI hay una recta o un plano, y si es SI no hay intersección. Para dos rectas, un SI no alcanza: paralelas disjuntas y alabeadas dan SI las dos, y se distinguen mirando los directores.

Distancias

Distancia	Pasos
Punto a plano	Recta perpendicular al plano por \(p\), hallás la intersección \(q\) y calculás \(d(p;q)\)
Punto a recta	Plano perpendicular a la recta por \(p\), hallás la intersección \(q\) y calculás \(d(p;q)\)
Planos paralelos	Tomás un punto de uno y calculás su distancia al otro
Rectas paralelas	Tomás un punto de una y calculás su distancia a la otra

Hoja resuelta: distancia de \(p_0=(6;0;5)\) a \(\mathcal P:\ 2x-y+3z+1=0\)

Recta perpendicular: \(x=6+2t\), \(\ y=-t\), \(\ z=5+3t\).

En el plano: \(2(6+2t)+t+3(5+3t)+1=0\), que da \(14t+28=0\) y \(t=-2\). El pie es \(q=(2;2;-1)\).

\(d(p_0;q)=\sqrt{16+4+36}=\sqrt{56}\approx 7{,}48\ u\).

Probate

Un vector normal a \(2x-y+3z=7\).

\(\vv n=(2;-1;3)\).

Plano por \((1;2;3)\) con normal \((1;0;-1)\).

\((x-1)-(z-3)=0\), o sea \(x-z+2=0\).

¿A qué es paralelo el plano \(2x+y-5=0\)?

Al eje Z, porque falta la variable \(z\).

Posición de \(x+y+z=1\) con \(2x+2y+2z=5\) y con \(2x+2y+2z=2\).

En ambos casos los normales son LD. Con el primero son paralelos disjuntos, porque al dividir por 2 queda \(x+y+z=\tfrac52\). Con el segundo son coincidentes, porque es la misma ecuación multiplicada por 2.

Posición de la recta \(\vv{om}=t(1;1;1)\) con el plano \(x-y=0\).

\(\vv u\cdot\vv n=1-1+0=0\), y el punto \((0;0;0)\) pertenece al plano. La recta está incluida.

Director de la recta \(x+y=0\), \(\ z=1\).

\((1;1;0)\times(0;0;1)=(1;-1;0)\).

Si dos rectas no se cortan, ¿son paralelas?

No necesariamente: en el espacio también pueden ser alabeadas.

Preguntas de mesa

¿Qué determina un plano?

Un punto y dos vectores directores LI, tres puntos no alineados, o un punto y un vector normal.

¿Por qué \(\vv u\times\vv v\) es normal al plano?

Porque el producto vectorial es ortogonal a \(\vv u\) y a \(\vv v\), y esos vectores dan la dirección del plano.

¿Qué son rectas alabeadas?

Rectas que no son paralelas y no se cortan. No existe un plano que las contenga a ambas. Se detectan porque \(\vv{u_1},\vv{u_2},\vv{a_1a_2}\) son LI.

¿Por qué una recta se puede escribir con dos ecuaciones?

Porque se puede ver como la intersección de dos planos no paralelos. Cada ecuación representa uno de esos planos.

¿Cómo se relaciona Rouché con las posiciones relativas?

La intersección de objetos es la solución del sistema que forman sus ecuaciones. SCD es un punto, SCI es una recta o un plano, SI es intersección vacía.

¿Por qué dos rectas paralelas disjuntas sí determinan un plano y dos alabeadas no?

Las paralelas disjuntas son coplanares, y un punto de cada una más el director alcanzan para definir el plano. Las alabeadas no están en un mismo plano.

Practicá: TP5 completo, con su Opcional. Diapositivas de U5, ejemplos 11 y 17 a 21.

Definiciones para el oral

Si en el oral evalúan definiciones, esto es lo que tenés que poder decir de memoria, con las palabras de las diapositivas 2026.

Cómo practicarlas

Tocá Sacar una al azar y decí la definición en voz alta antes de abrirla.
Compará palabra por palabra. Mirá sobre todo "todo", "única", "si y sólo si" y cada condición.
Tené un ejemplo corto listo, porque la pregunta que sigue suele ser esa.
Anotá las que te trabaron y repetilas al día siguiente.

Una definición dice qué es algo, no cómo se calcula. Empezá por las que sostienen el resto de la materia: rango, LI, sistema generador, base, dimensión, Rouché-Fröbenius y las cuatro cónicas.

U1 Matrices y determinantes

Matriz

Conjunto ordenado de elementos (en general, números reales) dispuestos en \(m\) filas y \(n\) columnas, formando un arreglo rectangular.

Orden de una matriz

Es el tamaño de la matriz. Si tiene \(m\) filas y \(n\) columnas, es de orden \(m\times n\).

Igualdad de matrices

Sean \(A=(a_{ij})\) y \(B=(b_{ij})\) dos matrices de orden \(m\times n\). \(A=B\) si y sólo si \(a_{ij}=b_{ij}\ \ \forall i=1,\dots,m\ \wedge\ \forall j=1,\dots,n\).

Primero tienen que ser del mismo orden.

Matriz fila y matriz columna

Una matriz fila tiene una sola fila: es de orden \(1\times n\). Una matriz columna tiene una sola columna: es de orden \(m\times 1\).

Matriz nula

\(A=(a_{ij})\) es una matriz nula si y sólo si \(a_{ij}=0\) para todo \(i=1,2,\dots,m\) y todo \(j=1,2,\dots,n\).

Matriz transpuesta

Sea \(A=(a_{ij})_{m\times n}\). La matriz transpuesta de \(A\), simbolizada \(A^T\), es la matriz de orden \(n\times m\) que se obtiene al intercambiar las filas y columnas de \(A\).

Matriz cuadrada

\(A=(a_{ij})_{m\times n}\) es cuadrada si \(m=n\). Se dice que el orden de \(A\) es \(n\). Los elementos tales que \(i=j\) forman la diagonal principal.

Matriz diagonal

Una matriz cuadrada \(A=(a_{ij})\) es diagonal si y sólo si \(a_{ij}=0\ \ \forall i\neq j\).

Matriz escalar

Una matriz cuadrada \(A=(a_{ij})\) es escalar si y sólo si \(a_{ij}=0\ \ \forall i\neq j\) y \(a_{ij}=k\ \ \forall i=j\).

Matriz identidad

Una matriz cuadrada \(A=(a_{ij})\) es la identidad de orden \(n\) si y sólo si \(a_{ij}=0\ \ \forall i\neq j\) y \(a_{ij}=1\ \ \forall i=j\).

Matriz triangular superior e inferior

Una matriz cuadrada \(A=(a_{ij})\) es triangular superior si y sólo si \(a_{ij}=0\ \ \forall i\gt j\). Es triangular inferior si y sólo si \(a_{ij}=0\ \ \forall i\lt j\).

Matriz simétrica y antisimétrica

Una matriz cuadrada \(A\) es simétrica si y sólo si \(A=A^T\). Es antisimétrica si y sólo si \(A=-A^T\).

Matriz inversa

Si \(A\) y \(A'\) son matrices cuadradas, tales que \(A\cdot A'=A'\cdot A=I\), diremos que \(A'\) es la inversa de \(A\), y la indicaremos \(A^{-1}\). Para que exista, \(A\) debe ser cuadrada y \(\det(A)\neq 0\).

El producto da I en los dos órdenes.

Elemento distinguido

El primer elemento no nulo de una fila.

Matriz escalonada

Una matriz \(A=(a_{ij})\) de orden \(m\times n\) está escalonada si el número de ceros anteriores al primer elemento no nulo de una fila crece por filas hasta llegar, si es posible, a filas en las que todos sus elementos sean nulos.

Matriz escalonada reducida por filas

Una matriz de orden \(m\times n\) está en forma escalonada reducida por filas si está escalonada y además sus elementos distinguidos son todos iguales a 1 y son los únicos distintos de cero en su columna.

Matrices equivalentes

Las matrices \(A\) y \(B\) se dicen equivalentes si \(B\) puede obtenerse a partir de una sucesión finita de operaciones elementales entre las filas de la matriz \(A\). Las operaciones son intercambiar dos filas, multiplicar una fila por un escalar no nulo y sumar a una fila un múltiplo de otra.

Rango de una matriz

Se denomina rango de la matriz a la cantidad de filas no nulas que tiene cualquier forma escalonada de la matriz.

Determinante

Función que asocia a una matriz cuadrada un escalar: \(\det:\mathcal M_n\to\R\). Su resultado es un número real.

Solo existe para matrices cuadradas.

Matriz complementaria

Sea \(A=(a_{ij})\) una matriz de orden \(n\). Se llama matriz complementaria del elemento \(a_{ij}\) a la sub-matriz \(M_{ij}\) que se obtiene suprimiendo en \(A\) la fila \(i\) y la columna \(j\).

Menor complementario

Se llama menor complementario \(m_{ij}\) del elemento \(a_{ij}\) al determinante de su matriz complementaria: \(m_{ij}=\det(M_{ij})\).

Cofactor

Sea \(A=(a_{ij})\) una matriz de orden \(n\). Se define cofactor del elemento \(a_{ij}\) a \(c_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot m_{ij}\). También se lo llama menor con signo.

No lleva a_ij.

Matriz de cofactores

Se llama matriz de cofactores de \(A\) a la matriz formada por todos los cofactores de la matriz \(A\).

Matriz adjunta

Se llama matriz adjunta de \(A\) a la matriz traspuesta de \(\mathrm{Cof}(A)\).

U2 Sistemas

Ecuación lineal con \(n\) incógnitas

Es una expresión que puede escribirse de la forma \(a_1x_1+a_2x_2+\dots+a_nx_n=b\), con \(a_1,\dots,a_n,b\in\R\). Los \(a_i\) son los coeficientes, los \(x_i\) las incógnitas y \(b\) el término independiente.

Ecuación homogénea

Una ecuación lineal cuyo término independiente es \(b=0\).

Conjunto solución

Es el conjunto de todas las soluciones de una ecuación.

Resolver un SEL

Resolver un sistema de \(m\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas significa hallar su conjunto solución. Esto significa encontrar, si existen, los valores de \(x_1,\dots,x_n\) que satisfacen simultáneamente las \(m\) ecuaciones. Si no es posible, el conjunto solución es vacío: \(S=\varnothing\).

Simultáneamente: las m a la vez.

Clasificación de un SEL

Si tiene solución es compatible: determinado (SCD) si la solución es única, indeterminado (SCI) si hay infinitas soluciones. Si no tiene solución es incompatible (SI).

Sistemas equivalentes

Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solución.

Matriz ampliada

Es la matriz de coeficientes con la columna de términos independientes agregada: \(A'=(A\mid B)\). También se llama matriz aumentada.

Teorema de Rouché-Fröbenius

Si \(r(A)=r(A')\), el sistema es compatible: es SCD si \(r(A)=r(A')=n\) y SCI si \(r(A)=r(A')\lt n\). Si \(r(A)\neq r(A')\), el sistema es incompatible.

n es la cantidad de incógnitas, no de ecuaciones.

Sistema homogéneo

Un SEL es homogéneo si todas sus ecuaciones son homogéneas. Siempre tiene solución, al menos la trivial, por lo tanto es siempre compatible.

Sistema de Cramer

Si \(A\cdot X=B\) es un sistema de \(n\) ecuaciones con \(n\) incógnitas, tal que \(\det(A)\neq 0\), entonces la solución del sistema es única y está dada por \(x_j=\dfrac{\det(A_j)}{\det(A)}\), donde \(A_j\) es la matriz que se obtiene al sustituir los elementos de la \(j\)-ésima columna de \(A\) por los elementos de la matriz \(B\).

Dos condiciones: cuadrado y det distinto de cero.

U3 Vectores

Espacio vectorial

Un espacio vectorial \(V\) es un conjunto no vacío de objetos denominados vectores, junto con dos operaciones llamadas adición y multiplicación por un escalar, que satisfacen diez axiomas.

Los diez axiomas de espacio vectorial

Para \(\vv u,\vv v,\vv w\in V\) y escalares \(k,k_1,k_2\):

\(\vv u+\vv v\in V\).
\(\vv u+\vv v=\vv v+\vv u\).
\(\vv u+(\vv v+\vv w)=(\vv u+\vv v)+\vv w\).
Existe \(\vv 0\in V\) tal que \(\vv u+\vv 0=\vv 0+\vv u=\vv u\) para todo \(\vv u\).
Para cada \(\vv u\) existe \(-\vv u\in V\) tal que \(\vv u+(-\vv u)=(-\vv u)+\vv u=\vv 0\).
\(k\vv u\in V\).
\(1\cdot\vv u=\vv u\).
\(k(\vv u+\vv v)=k\vv u+k\vv v\).
\((k_1+k_2)\vv u=k_1\vv u+k_2\vv u\).
\(k_1(k_2\vv u)=(k_1k_2)\vv u=k_2(k_1\vv u)\).

U1 nombra 8 para las matrices: no cuenta el 1 y el 6, las dos de clausura.

Combinación lineal

Una expresión de la forma \(\alpha_1\vv{u_1}+\alpha_2\vv{u_2}+\dots+\alpha_n\vv{u_n}\), donde \(\alpha_1,\dots,\alpha_n\) son escalares, se llama combinación lineal de \(\vv{u_1},\dots,\vv{u_n}\).

Vectores linealmente independientes

Sean \(\vv{u_1},\dots,\vv{u_n}\), \(n\) vectores de un espacio vectorial \(V\). Se dice que son linealmente independientes si la única combinación lineal de ellos que da el vector nulo es la que tiene todos los escalares nulos. Significa que ninguno de ellos puede ser expresado como combinación lineal de los demás.

La palabra clave es única.

Vectores linealmente dependientes

Son los que no son LI: existe una combinación lineal de ellos que da el vector nulo con algún escalar no nulo. Equivale a que alguno se pueda expresar como combinación lineal de los demás. Las diapositivas definen LI y esta es su negación.

Sistema generador

Sea \(S=\{\vv{u_1},\dots,\vv{u_n}\}\subset V\). \(S\) es un sistema generador de \(V\) si y sólo si todo vector de \(V\) se puede expresar como combinación lineal de los vectores \(\vv{u_1},\dots,\vv{u_n}\).

Todo vector de V, no algunos.

Base

Sea \(B=\{\vv{u_1},\dots,\vv{u_n}\}\subset V\). \(B\) es una base del espacio vectorial \(V\) si y sólo si se cumplen las dos siguientes condiciones: \(B\) es un conjunto de vectores linealmente independientes y \(B\) es un sistema generador de \(V\).

Las dos condiciones a la vez.

Base estándar o base canónica

En \(\R^2\), \(B=\{\vec\imath;\vec\jmath\}\) con \(\vec\imath=(1;0)\) y \(\vec\jmath=(0;1)\). En \(\R^3\), \(B=\{\vec\imath;\vec\jmath;\vec k\}\) con \(\vec\imath=(1;0;0)\), \(\vec\jmath=(0;1;0)\) y \(\vec k=(0;0;1)\). Todo vector del espacio es combinación lineal de ellos.

Dimensión

La dimensión de un espacio vectorial es el número de vectores que contiene cualquiera de sus bases. Se escribe \(\dim(V)=n\).

Norma o módulo

Norma de \(\vv u\) o módulo de \(\vv u\) es la longitud del vector \(\vv u\). Se denota \(\nr{\vv u}\).

Versor

Vector normado, unitario o versor es aquel vector cuya norma o módulo es igual a uno. El versor asociado a \(\vv u\) es \(\check u=\dfrac{1}{\nr{\vv u}}\cdot\vv u\).

Producto escalar

Sean \(\vv u\) y \(\vv v\) dos vectores de un EV y sea \(\theta\) el ángulo entre ellos. \(\vv u\cdot\vv v=\nr{\vv u}\nr{\vv v}\cos\theta\) si \(\vv u\neq\vv 0\wedge\vv v\neq\vv 0\), y \(\vv u\cdot\vv v=0\) si \(\vv u=\vv 0\vee\vv v=\vv 0\). El producto escalar entre dos vectores es un número.

Vectores ortogonales

\(\vv u\) y \(\vv v\) son ortogonales si \(\vv u\cdot\vv v=0\). El vector nulo es ortogonal a cualquier vector.

Producto vectorial

El producto vectorial entre dos vectores de \(\R^3\), distintos del vector nulo y no paralelos, se indica \(\vv u\times\vv v\) y da como resultado otro vector \(\vv w\). Su dirección es ortogonal a \(\vv u\) y a \(\vv v\), y su módulo es \(\nr{\vv u\times\vv v}=\nr{\vv u}\nr{\vv v}\sin\theta\). Su sentido lo da la regla de la mano derecha, por eso \(\vv v\times\vv u\) tiene sentido opuesto a \(\vv u\times\vv v\).

Producto mixto

El producto mixto entre tres vectores \(\vv u,\vv v,\vv w\) de \(\R^3\) se define \((\vv u;\vv v;\vv w)=\vv u\cdot(\vv v\times\vv w)\). Da un número.

U4 Geometría del plano

Distancia entre dos puntos del plano

La distancia entre dos puntos \(a\) y \(b\) del plano es la longitud del vector \(\vv{ab}\), es decir, su norma.

Recta en el plano

Dados un punto \(p_0\) y un vector director \(\vv u\), \(\mathcal R=\{m\in\R^2:\ \vv{p_0m}=t\cdot\vv u,\ t\in\R\}\). Es decir, \(\vv{p_0m}\) y \(\vv u\) son LD.

Cónica

Llamamos cónica o sección cónica a toda figura plana que se obtiene como intersección de un doble cono circular recto con un plano que lo corta. Según las distintas posiciones del plano al cortar al cono, se obtienen diferentes cónicas.

Circunferencia

Llamamos circunferencia al lugar geométrico de los puntos \(p\) del plano \(\R^2\) tales que su distancia a un punto fijo \(c\), llamado centro, es constante. Dicha constante se denomina radio \(r\) de la circunferencia.

Elipse

Llamamos elipse al lugar geométrico de los puntos \(p\) del plano \(\R^2\) tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante: \(d(p;F_1)+d(p;F_2)=2a\).

Excentricidad de la elipse

Es la razón o cociente entre \(c\) y \(a\): \(\varepsilon=\dfrac ca\), con \(0\lt\varepsilon\lt 1\).

Parábola

Es el lugar geométrico de los puntos \(p\) del plano tales que sus distancias a un punto fijo \(F\), llamado foco, y a una recta fija \(d\), llamada directriz, son iguales.

Hipérbola

Es el lugar geométrico de los puntos \(p\) del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos \(F_1\) y \(F_2\), llamados focos, es un valor constante, positivo y menor que la distancia focal: \(|d(p;F_1)-d(p;F_2)|=2a\).

Valor absoluto de la diferencia.

Excentricidad de la hipérbola

Es la razón o cociente entre \(c\) y \(a\): \(\varepsilon=\dfrac ca\), con \(\varepsilon\gt 1\).

U5 Geometría del espacio

Distancia entre dos puntos del espacio

La distancia entre dos puntos \(a\) y \(b\) del espacio es la longitud del vector \(\vv{ab}\), es decir, su norma.

Plano en el espacio

Dados un punto \(p_0\) y dos vectores directores LI \(\vv u\) y \(\vv v\), \[\mathcal P=\{m\in\R^3:\ \vv{p_0m}=t\cdot\vv u+t'\cdot\vv v,\ t,t'\in\R\}\] Es decir, \(\vv{p_0m},\vv u,\vv v\) son LD.

Recta en el espacio

Dados un punto \(p_0\) y un vector director \(\vv u\), \(\mathcal R=\{m\in\R^3:\ \vv{p_0m}=t\cdot\vv u,\ t\in\R\}\). También se puede ver como la intersección de dos planos no paralelos.

Rectas alabeadas

Son rectas no paralelas que no se cortan: \(\mathcal R_1\cap\mathcal R_2=\varnothing\) y \(\{\vv{u_1};\vv{u_2};\vv{a_1a_2}\}\) es LI. No existe un plano que pueda incluir a las dos rectas.

Practicá: TP4b ej. 9 y TP4c ej. 6 y 14 piden definir como lugar geométrico. TP5 Opcional 9 pide justificar verdaderos y falsos.